【因数分解の整数問題】五次式を2つの多項式の積で表す

問題

f(x) = x^5 - ax - 1 が整数係数の正次数の2つの整式の積となるような
整数aを求め、
そのようなaについてf(x)を因数分解せよ。

(1976年・東大文系)

【京大理学部・特色入試でコインゲームの問題】ニュース報道された五輪級の超難問

問題

n個のコインを円周上に並べ，連続するk個を裏返す操作を続けるとき，
「初期状態によらず全コインが裏返った状態に到達できる」ための
n と k に関する必要十分条件は？

（京大・理学部特色入試・2016年第三問）

解説

【中学生でも解けるシンプル難問】 a, b, c の3数のうち，2つか3つが一致することの証明

問題

a + (1/a) ＝ b + (1/b) ＝ c + (1/c) のとき，
a, b, c のうち少なくとも２つ以上は互いに等しいことを示せ。

参考

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【行列のシンプル難問】３つの平方行列で表せるが、２つの平方行列では表せない

問題

二次の正方行列について、
（１）どんな行列も３つの平方行列の和で表せる事を示せ。
（２）２つの平方行列の和で表せない行列の存在を示せ。

出典：数学セミナー