問題 ３以上の整数ｎについて平面上にｎ個の点を取るとき， どの２点間の距離も無理数で，どの３点も三角形を作り， その面積が有理数であるようにできることを示せ。 （IMO・1987年）

問題 半径1の円に内接する正六角形の６つの頂点から、 ランダムに重複を許して３点を選び三角形を作るとき、 三角形の面積の期待値を求めよ。 （東京大学・1981年）

問題 （１）半径１の円周上に３点ABCがあるとき，三角形ABCの内接円を最大化せよ。 （２）半径１の球面上に４点ABCDがあるとき，四面体ABCDの内接球を最大化せよ。 解答の方針

問題 正三角形ABCの内部の点Pについて、 AP＝3、BP＝4、CP＝5のとき、ABCの面積を求めよ。

問題 一辺の長さが1の正方形ABCDにおいて、点Pと点Qが辺AB、辺AD上を動き、 AをPQについて折り返した点をXとするとき、 Xが動く範囲の面積を求めよ。

問題 一辺の長さが２の正六角形ABCDEFに内接する円Oについて、 OとDEの接点をPとし、PAおよびPBがOと交わる点をそれぞれQ、Rとするとき、 △ PQRの面積を求めよ。

問題 （１） 鋭角三角形 S の頂点ABCにおいて， 各頂点の対辺について対称点A ' B ' C ' をとって三角形 S ' とするとき， S ' の面積 ≦ 4×Sの面積 を示せ。 （２） Sが鈍角三角形であれば S ' の面積 ＜ 5×Sの面積 を示せ。 （出典：大学への数学）