2015-03-01から1ヶ月間の記事一覧
問題 体積の等しい立方体Xと球Yがあるとき, (1)YはXの頂点をいくつまで内部に含むことができるか? (2)YはXの辺をいくつまで内部に含むことができるか? (大阪大)
問題 四辺形ABCDは円に内接し, AB上のある点Oを中心とした円が他の3辺に接するとき, AB=AD+BC を示せ。 (IMO・1985年)
問題 平面上の有限個の格子点を赤か白に塗り分けるとき, x軸またはy軸に平行などんな直線をとっても, その直線上の白点と赤点の個数差を1以下にできるか? (IMO・1986年) 問題の拡張 ・2次元の格子点をn色に塗り分ける場合はどうか? ・3次元の格…
問題 非負整数の全体から非負整数の全体への写像fについて, f(f(x))=x+1987 を満たすものは存在しないことを示せ。 (1987年・IMO)
問題 3以上の整数nについて平面上にn個の点を取るとき, どの2点間の距離も無理数で,どの3点も三角形を作り, その面積が有理数であるようにできることを示せ。 (IMO・1987年)
問題 自然数 a, b に対して ( a^2 + b^2 ) / ( ab + 1 ) = k とおくとき, kが整数ならば,kは平方数であることを示せ。 (IMO・1988年)
問題 いかなるnに対しても,連続するn個の自然数で, そのどれもが素数の自然数乗でないものが 存在することを示せ。 (IMO・1989) この問題から得られる結論 「nがどんなに大きくとも,連続するn個の自然数の区間に 一つも素数が現れないような区間が…
問題 平面上に, どの3点も同一直線上にないように5点を配置するとき, そのうちある4点を頂点とする凸四角形が 必ず存在することを示せ。
問題 n個の自然数からなる集合Sについて, Sの部分集合で,その要素の和がnで割り切れるものが 必ず存在することを示せ。
問題 nを自然数として,2のn乗の最上桁が1である確率は?
問題 2^n - 1 の全ての素因数が 2^( n / 2011 ) 以下となることは可能か?
問題 2^n - 2 が n の倍数であるとき,これを満たす合成数 n を見つけよ。 また,このような合成数 n は無数に存在するか?
問題 n×nの将棋盤上で,飛車を1の1(左下)からnのn(右上)まで 進める動かし方は9^n 通り以下であることを示せ。 ただし,飛車は右または上に一度に何マスでも進むことができ, 方向を変えるとき以外も立ち止まれるものとする。
問題 フィボナッチ数 1, 1, 2, 3, …のうち, 下2桁が99の項は存在するか? また,下8桁に9が並ぶことはありえるか?
問題 自然数 a, b について a^b をべき数と呼ぶとき, どんな自然数nに対しても, 全項がべき数であるn項の等差数列を作れることを示せ。 類題 【数列の部分列のシンプル難問】 和が0となる数列の真部分列も和を0にする - 短くて面白い数学の問題コレクシ…
問題 0<α<1である無理数αについて, αも√αも小数点以下に0が出てこない,ということがありうるか? 類題 【無理数の性質のシンプル難問】 ルート2には,同じ数字の連続した並びがどの程度まで許可されるか? - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜…
問題 1辺の長さが1である正四面体が作る正射影の面積を 最大化および最小化せよ。 (東京大) 類題 【確率のシンプル難問】四面体の頂点から頂点に電流が流れる確率 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜 http://sugaku-omoshiroi-mon…
問題 半径1の球が2つあり,その和集合の体積が8であるとき, 2つの球の中心間の距離を小数第一位まで求めよ。 (東京大) 類題 【空間図形の展開図のシンプル難問】正n角錘の体積の最大化 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜 htt…
問題 3次関数 y = x^3 + a x^2 + b x + c のグラフが, 原点を通るどんな直線に対しても線対称でないことを示せ。 (九州大)
問題 ABを直径とする半円の弧上に2点PQがあり, 弧をPQで折り返すとABに接するとき, このようなPQが存在する範囲を図示せよ。 (千葉大) 類題 【正方形のシンプル難問】折り返した頂点が動く範囲 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜…
問題 サイコロをn回振って出た目の和を 5で割った余りがkである確率をp_n (k) とするとき, n→∞ での p(k) を求めよ。 (京都大) 類題 【確率のシンプル難問】サイコロの目を足してゆく時,特定の値になる確率 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜…
問題 長さπのひもがあり, ひもの一つの端点は半径1の球面上の定点に固定されていて, ひもが球面の外部を動くとき, このひもが存在できる範囲の体積を求めよ。 (東工大)