問題 n個のコインを円周上に並べ，連続するk個を裏返す操作を続けるとき， 「初期状態によらず全コインが裏返った状態に到達できる」ための n と k に関する必要十分条件は？（京大・理学部特色入試・2016年第三問） 解説

問題 a + (1/a) ＝ b + (1/b) ＝ c + (1/c) のとき， a, b, c のうち少なくとも２つ以上は互いに等しいことを示せ。 参考

問題 二次の正方行列について、 （１）どんな行列も３つの平方行列の和で表せる事を示せ。 （２）２つの平方行列の和で表せない行列の存在を示せ。 出典：数学セミナー

問題 体積の等しい立方体Xと球Yがあるとき， （１）YはXの頂点をいくつまで内部に含むことができるか？ （２）YはXの辺をいくつまで内部に含むことができるか？ （大阪大）

問題 非負整数の全体から非負整数の全体への写像ｆについて， ｆ(ｆ(ｘ))＝ｘ＋1987 を満たすものは存在しないことを示せ。 （1987年・IMO）

問題 いかなるｎに対しても，連続するｎ個の自然数で， そのどれもが素数の自然数乗でないものが 存在することを示せ。 （IMO・1989） この問題から得られる結論 「ｎがどんなに大きくとも，連続するｎ個の自然数の区間に 一つも素数が現れないような区間が…

問題 平面上に， どの３点も同一直線上にないように５点を配置するとき， そのうちある４点を頂点とする凸四角形が 必ず存在することを示せ。

問題 ｎ個の自然数からなる集合Sについて， Sの部分集合で，その要素の和がｎで割り切れるものが 必ず存在することを示せ。

問題 nを自然数として，2のn乗の最上桁が１である確率は？

問題 2^n - 1 の全ての素因数が 2^( n / 2011 ) 以下となることは可能か？

問題 2^n - 2 が n の倍数であるとき，これを満たす合成数 n を見つけよ。 また，このような合成数 n は無数に存在するか？

問題 フィボナッチ数 1, 1, 2, 3, …のうち， 下２桁が９９の項は存在するか？ また，下８桁に９が並ぶことはありえるか？

問題 ０＜α＜１である無理数αについて， αも√αも小数点以下に０が出てこない，ということがありうるか？ 類題 【無理数の性質のシンプル難問】 ルート２には，同じ数字の連続した並びがどの程度まで許可されるか？ - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜…

問題 １辺の長さが１である正四面体が作る正射影の面積を 最大化および最小化せよ。 （東京大） 類題 【確率のシンプル難問】四面体の頂点から頂点に電流が流れる確率 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜 http://sugaku-omoshiroi-mon…

問題 ３次関数 y = x^3 + a x^2 + b x + c のグラフが， 原点を通るどんな直線に対しても線対称でないことを示せ。 （九州大）

問題 長さπのひもがあり， ひもの一つの端点は半径１の球面上の定点に固定されていて， ひもが球面の外部を動くとき， このひもが存在できる範囲の体積を求めよ。 （東工大）

問題 f(x)＝「xの各桁の和」であるとき， a + f(a) ＝ b + f(b) ＝ c + f(c) を満たす異なる自然数a, b, c は存在するか？ 類題 【シンプル整数難問】どの桁の和も９にならない2000番目の数 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜 http:/…

問題 ２ケタ以上の，ゾロ目の平方数は存在するか？ 参考 頭の体操 | 夢の出来事 http://blog.hangame.co.jp/N394626361/article/39942899/ 二桁以上の平方数でゾロ目になるものは存在するか？ collo150 http://www.junko-k.com/collo/collo150.htm 平方数の…

問題 ２ケタ以上のゾロ目の素数は，１１以外に存在するか？ 参考 すべての桁が同じ数の数を素因数分解に規則性はありますか？ - Yahoo!知恵袋 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12114513727 すべての桁が同じ数の数を素因数分解し…

問題 ２^ｎ - 1 が３１で割りきれる条件は？

問題 1から100までの中からどのように５１個の数を選んでも、 一方が他方を割りきるような二数の組が存在することを示せ。

問題 ３/ｘ がちょうど小数３位までの有限小数となるような自然数ｘはいくつあるか？

問題 ９０を連続する自然数の和で表す方法は何通りあるか。 出典：マスターオブ整数

問題 ９が３０桁並ぶ数を５乗して、各桁の和をAとし、 Aの各桁の和をB、Bの各桁の和をCとするとき、 Cを求めよ。

問題 1998の倍数でゾロ目の最小のものは？

問題 ７の倍数と４の倍数の和の形で表せない数はあるか？

問題 １７の倍数と２３の倍数の和の形で表せない最大の整数を求めよ。

問題 ｗ≦ｘ≦ｙ≦ｚのとき、 ｗｘｙｚ＝ｗ+ｘ+ｙ+ｚ の自然数解を求めよ。

問題 １３^ｎ - ８^ｎ - ５^ｎ は４０の倍数であることを示せ。

問題 連続するｎ個の自然数の積は、ｎ！の倍数であることを示せ。