問題 全桁に1が並ぶ整数として、 1、11、111、…のように桁数が1桁から2003桁までのものを考えるとき、 それらのうち少なくとも1つは2003の倍数であることを示せ。

問題 21、221、2221、…の中には平方数がないことを示せ。 出典：「ジュニア数学オリンピック2009-2013」（亀書房）５ページ。 参考 この問題解ける？ http://uni.open2ch.net/test/read.cgi/math/1417513732/ 21,221,2221,22221……が平方数にならないことを示…

問題 ３つの頂点がいずれも格子点であるような正三角形は存在しないことを示せ。 （名古屋大）

問題 １，２，３，４，５のいずれかの数が合計１２０個あるとき， この１２０個の数の中からいくつか選んで， 和を１２０にできることを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 さいころを繰り返し振って，出た目を足してゆくとき， いつか和が1995となる確率は？ （出典：大学への数学）

問題 半径１の円の２弦AB, CDが，点Pで直交するとき （１）向かい合う２つの弧AC, BDの長さはあわせて半円周に等しいことを示せ。 （２）AP^2 + BP^2 + CP^2 + DP^2 = 1 を示せ。 （有名問題） 解法

問題 あるクラス内で，科目１，２，３，４を受講している人が３０人ずついて重複もありうるとき， このクラスを５グループに分け，どのグループにも，各科目を受講している人がちょうど６人ずつであるように必ずできることを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 n×n のマス目に 1 から n^2 までの数を入れるとき， 上下左右に隣り合う２マスの差が n となる箇所が必ず存在することを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 １９個の相異なる２桁の数があるとき， その中から選んだある４数 a, b, c, d で a + b = c + d が必ず成り立つことを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 どの項も絶対値が10以下の整数で， 全項の和が０であるような２０項の数列があるとき， 隣り合う１９項以下の項を選んで和を０にできることを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 f(n) = 「 2^n の各桁の和」とするとき， f(n) ≧ f(n+1) となる n は無数に存在することを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 円の中の任意の点Pから45°ずつずらして４本の直線を引き， 円を８つの部分に分けて交互に白と黒に塗るとき， 白い部分と黒い部分の面積が等しいことを示せ。 （出典：大学への数学） ヒント

問題 半径１の球に内接する正四面体ABCDと， 空間内の任意の点Pについて AP + BP + CP + DP ≧４ を示せ。 （出典：大学への数学）

問題 （１） 鋭角三角形 S の頂点ABCにおいて， 各頂点の対辺について対称点A ' B ' C ' をとって三角形 S ' とするとき， S ' の面積 ≦ 4×Sの面積 を示せ。 （２） Sが鈍角三角形であれば S ' の面積 ＜ 5×Sの面積 を示せ。 （出典：大学への数学）

問題 一辺の長さが a の正方形の中に， 一辺の長さが b, c の２つの正方形が重ならずに入っているとき， a ≧ b + c を示せ。 （出典：大学への数学）

問題 √２の値を１億桁調べたとき， 同じ数字が６千万桁続いて並ぶことはありえないことを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 白と黒のタイルが交互に並ぶ（＝市松模様の）平面上で， 白い部分だけを通る円を作るとき，最大の円を求めよ。 （出典：大学への数学） ※市松模様とは，こういうチェック柄のこと ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 市松模様 - Wikipedi…