倍数・割り切れる
問題 f(x) = x^5 - ax - 1 が整数係数の正次数の2つの整式の積となるような 整数aを求め、 そのようなaについてf(x)を因数分解せよ。(1976年・東大文系)
問題 n個のコインを円周上に並べ，連続するk個を裏返す操作を続けるとき， 「初期状態によらず全コインが裏返った状態に到達できる」ための n と k に関する必要十分条件は？（京大・理学部特色入試・2016年第三問） 解説
問題 自然数 a, b に対して ( a^2 + b^2 ) / ( ab + 1 ) ＝ k とおくとき， ｋが整数ならば，ｋは平方数であることを示せ。 （IMO・1988年）
問題 ｎ個の自然数からなる集合Sについて， Sの部分集合で，その要素の和がｎで割り切れるものが 必ず存在することを示せ。
問題 2^n - 2 が n の倍数であるとき，これを満たす合成数 n を見つけよ。 また，このような合成数 n は無数に存在するか？
問題 ２^ｎ - 1 が３１で割りきれる条件は？
問題 1から100までの中からどのように５１個の数を選んでも、 一方が他方を割りきるような二数の組が存在することを示せ。
問題 1998の倍数でゾロ目の最小のものは？
問題 １３^ｎ - ８^ｎ - ５^ｎ は４０の倍数であることを示せ。
問題 連続するｎ個の自然数の積は、ｎ！の倍数であることを示せ。
問題 ｐ^２+ｑ^２＝ｒ^２ を満たす自然数の組について、ｐｑｒが６０の倍数であることを示せ。
問題 1がｎ個並んだ数が27で割りきれることは、 ｎが27で割りきれることと同値であることを示せ。 （東京大学・2008年）
問題 下４桁がゾロ目で５桁以上の平方数は、10000で割りきれることを示せ。 （東京大学・2004年）
問題 全桁に1が並ぶ整数として、 1、11、111、…のように桁数が1桁から2003桁までのものを考えるとき、 それらのうち少なくとも1つは2003の倍数であることを示せ。
