当サイト内で，2015年の前半にもっともアクセスの多かった記事のランキング。 総合ランキング 1位：【部分集合のシンプル難問】ｎ個の自然数の部分集合で，和がｎで割り切れるものが存在 2位：【三角関数のシンプル難問】 tan 1°は有理数か。 （わずか11文字…

問題 二次の正方行列について、 （１）どんな行列も３つの平方行列の和で表せる事を示せ。 （２）２つの平方行列の和で表せない行列の存在を示せ。 出典：数学セミナー

問題 体積の等しい立方体Xと球Yがあるとき， （１）YはXの頂点をいくつまで内部に含むことができるか？ （２）YはXの辺をいくつまで内部に含むことができるか？ （大阪大）

問題 四辺形ABCDは円に内接し， AB上のある点Oを中心とした円が他の３辺に接するとき， AB＝AD＋BC を示せ。 （IMO・1985年）

問題 平面上の有限個の格子点を赤か白に塗り分けるとき， ｘ軸またはｙ軸に平行などんな直線をとっても， その直線上の白点と赤点の個数差を１以下にできるか？ （IMO・1986年） 問題の拡張 ・２次元の格子点をｎ色に塗り分ける場合はどうか？ ・３次元の格…

問題 非負整数の全体から非負整数の全体への写像ｆについて， ｆ(ｆ(ｘ))＝ｘ＋1987 を満たすものは存在しないことを示せ。 （1987年・IMO）

問題 ３以上の整数ｎについて平面上にｎ個の点を取るとき， どの２点間の距離も無理数で，どの３点も三角形を作り， その面積が有理数であるようにできることを示せ。 （IMO・1987年）

問題 自然数 a, b に対して ( a^2 + b^2 ) / ( ab + 1 ) ＝ k とおくとき， ｋが整数ならば，ｋは平方数であることを示せ。 （IMO・1988年）

問題 いかなるｎに対しても，連続するｎ個の自然数で， そのどれもが素数の自然数乗でないものが 存在することを示せ。 （IMO・1989） この問題から得られる結論 「ｎがどんなに大きくとも，連続するｎ個の自然数の区間に 一つも素数が現れないような区間が…

問題 平面上に， どの３点も同一直線上にないように５点を配置するとき， そのうちある４点を頂点とする凸四角形が 必ず存在することを示せ。

問題 ｎ個の自然数からなる集合Sについて， Sの部分集合で，その要素の和がｎで割り切れるものが 必ず存在することを示せ。

問題 nを自然数として，2のn乗の最上桁が１である確率は？

問題 2^n - 1 の全ての素因数が 2^( n / 2011 ) 以下となることは可能か？

問題 2^n - 2 が n の倍数であるとき，これを満たす合成数 n を見つけよ。 また，このような合成数 n は無数に存在するか？

問題 ｎ×ｎの将棋盤上で，飛車を１の１（左下）からｎのｎ（右上）まで 進める動かし方は9^n 通り以下であることを示せ。 ただし，飛車は右または上に一度に何マスでも進むことができ， 方向を変えるとき以外も立ち止まれるものとする。

問題 フィボナッチ数 1, 1, 2, 3, …のうち， 下２桁が９９の項は存在するか？ また，下８桁に９が並ぶことはありえるか？

問題 自然数 a, b について a^b をべき数と呼ぶとき， どんな自然数ｎに対しても， 全項がべき数であるｎ項の等差数列を作れることを示せ。 類題 【数列の部分列のシンプル難問】 和が0となる数列の真部分列も和を0にする - 短くて面白い数学の問題コレクシ…

問題 ０＜α＜１である無理数αについて， αも√αも小数点以下に０が出てこない，ということがありうるか？ 類題 【無理数の性質のシンプル難問】 ルート２には，同じ数字の連続した並びがどの程度まで許可されるか？ - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜…

問題 １辺の長さが１である正四面体が作る正射影の面積を 最大化および最小化せよ。 （東京大） 類題 【確率のシンプル難問】四面体の頂点から頂点に電流が流れる確率 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜 http://sugaku-omoshiroi-mon…

問題 半径１の球が２つあり，その和集合の体積が８であるとき， ２つの球の中心間の距離を小数第一位まで求めよ。 （東京大） 類題 【空間図形の展開図のシンプル難問】正ｎ角錘の体積の最大化 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜 htt…

問題 ３次関数 y = x^3 + a x^2 + b x + c のグラフが， 原点を通るどんな直線に対しても線対称でないことを示せ。 （九州大）

問題 ABを直径とする半円の弧上に２点PQがあり， 弧をPQで折り返すとABに接するとき， このようなPQが存在する範囲を図示せよ。 （千葉大） 類題 【正方形のシンプル難問】折り返した頂点が動く範囲 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜…

問題 サイコロをｎ回振って出た目の和を ５で割った余りがｋである確率をp_n (k) とするとき， ｎ→∞ での p(k) を求めよ。 （京都大） 類題 【確率のシンプル難問】サイコロの目を足してゆく時，特定の値になる確率 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜…

問題 長さπのひもがあり， ひもの一つの端点は半径１の球面上の定点に固定されていて， ひもが球面の外部を動くとき， このひもが存在できる範囲の体積を求めよ。 （東工大）

問題 f(x)＝「xの各桁の和」であるとき， a + f(a) ＝ b + f(b) ＝ c + f(c) を満たす異なる自然数a, b, c は存在するか？ 類題 【シンプル整数難問】どの桁の和も９にならない2000番目の数 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜 http:/…

問題 ２ケタ以上の，ゾロ目の平方数は存在するか？ 参考 頭の体操 | 夢の出来事 http://blog.hangame.co.jp/N394626361/article/39942899/ 二桁以上の平方数でゾロ目になるものは存在するか？ collo150 http://www.junko-k.com/collo/collo150.htm 平方数の…

問題 ２ケタ以上のゾロ目の素数は，１１以外に存在するか？ 参考 すべての桁が同じ数の数を素因数分解に規則性はありますか？ - Yahoo!知恵袋 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12114513727 すべての桁が同じ数の数を素因数分解し…