2014-01-01から1年間の記事一覧
問題 2^n - 1 が31で割りきれる条件は?
問題 1から100までの中からどのように51個の数を選んでも、 一方が他方を割りきるような二数の組が存在することを示せ。
問題 3/x がちょうど小数3位までの有限小数となるような自然数xはいくつあるか?
問題 90を連続する自然数の和で表す方法は何通りあるか。 出典:マスターオブ整数
問題 9が30桁並ぶ数を5乗して、各桁の和をAとし、 Aの各桁の和をB、Bの各桁の和をCとするとき、 Cを求めよ。
問題 1998の倍数でゾロ目の最小のものは?
問題 7の倍数と4の倍数の和の形で表せない数はあるか?
問題 17の倍数と23の倍数の和の形で表せない最大の整数を求めよ。
問題 w≦x≦y≦zのとき、 wxyz=w+x+y+z の自然数解を求めよ。
問題 13^n - 8^n - 5^n は40の倍数であることを示せ。
問題 連続するn個の自然数の積は、n!の倍数であることを示せ。
問題 p^2+q^2=r^2 を満たす自然数の組について、pqrが60の倍数であることを示せ。
問題 a、b、cが奇数であるとき、a^2+b^2+c^2は平方数でないことを示せ。
問題 ある細胞が確率pで1つ、確率1-pで2つの新しい細胞を次の世代に残し、自分自身は消滅するとき、 第0世代に細胞が1個とすると、第n世代で細胞の合計数が1個、2個、3個である確率をそれぞれ求めよ。 (東京大学・1984年)
問題 正四角錘に内接する球を考えるとき、 (球の表面積)/(正四角錘の表面積)を最大化せよ。 (東京大学・1983年)
問題 正四面体Tと半径1の球面Sがあり、Tの全ての辺がSに接しているとき、 Tの外側にあってSの内側にある部分の体積を求めよ。 (東京大学・1982年)
問題 整数a、bについて x^4+ax^2+b=0の4つの解を考えるとき、 誤差が絶対値0.05であるような近似解として-3.45、-0.61、0.54、3.42がわかっている場合、 真の解を小数点第二位まで求めよ。 (東京大学・1982年)
問題 半径1の円に内接する正六角形の6つの頂点から、 ランダムに重複を許して3点を選び三角形を作るとき、 三角形の面積の期待値を求めよ。 (東京大学・1981年)
問題 正n角錘の辺を切り開き、 底面を中心に展開して半径1の円に内接するとき、 この正n角錘の体積の最大値を求めよ。 (東京大学・1981年)
問題 四面体ABCDと四面体EFGHが頂点DとHで接しており、 各辺は確率pで電流を流すとき、 頂点Aから頂点Fに電流が流れる確率を求めよ。 (東京大学・1999年)
問題 平面上に直線が間隔hで縦横に並んでいるとき、 この上に半径1の円を落とした場合、 円がちょうど2つの線と交わる確率を求めよ。 (東京大学・2001年)
問題 3^x=x^3を満たす正の有理数は、3のみであることを示せ。 (東京大学・1991年) 解答 下記のページに回答がある。 3^x = x^3 の解 - 雑食系猫的楽書帳 http://d.hatena.ne.jp/thilogane/20110302/p2
問題 連続する3つの自然数の積で、桁の中に1が連続して99個現れるような数が存在することを示せ。 (東京大学・2013年)
問題 連続するn個の自然数の積は、ある自然数のn乗に等しくはなれないことを示せ。 (東京大学・2012年)
問題 1がn個並んだ数が27で割りきれることは、 nが27で割りきれることと同値であることを示せ。 (東京大学・2008年)
問題 自然数mについて、5m^4 の下2桁として現れる数を全て求めよ。 ただし十の位の0の有無は無視してよい。 (東京大学・2007年)
問題 下4桁がゾロ目で5桁以上の平方数は、10000で割りきれることを示せ。 (東京大学・2004年)
問題 x^2 - 4x - 1 =0 の大きい方の解をαとするとき、 α^2003以下の最大の整数の1の位を求めよ。 (東京大学・2003年)
問題 どの桁も異なり、どの2つの桁の和も9にならないような自然数を小さいものから順に考えると、2000番目の数はいくつか。 (東京大学・2000年)
問題 三角形ABCの頂点がいずれも格子点で、 ABとACのいずれの両端を除く辺の上にも格子点が3個ずつあるとき、 三角形ABCの面積が8の倍数であることを示せ。 (東京大学・1992年)