問題 ２^ｎ - 1 が３１で割りきれる条件は？

問題 1から100までの中からどのように５１個の数を選んでも、 一方が他方を割りきるような二数の組が存在することを示せ。

問題 ３/ｘ がちょうど小数３位までの有限小数となるような自然数ｘはいくつあるか？

問題 ９０を連続する自然数の和で表す方法は何通りあるか。 出典：マスターオブ整数

問題 ９が３０桁並ぶ数を５乗して、各桁の和をAとし、 Aの各桁の和をB、Bの各桁の和をCとするとき、 Cを求めよ。

問題 1998の倍数でゾロ目の最小のものは？

問題 ７の倍数と４の倍数の和の形で表せない数はあるか？

問題 １７の倍数と２３の倍数の和の形で表せない最大の整数を求めよ。

問題 ｗ≦ｘ≦ｙ≦ｚのとき、 ｗｘｙｚ＝ｗ+ｘ+ｙ+ｚ の自然数解を求めよ。

問題 １３^ｎ - ８^ｎ - ５^ｎ は４０の倍数であることを示せ。

問題 連続するｎ個の自然数の積は、ｎ！の倍数であることを示せ。

問題 ｐ^２+ｑ^２＝ｒ^２ を満たす自然数の組について、ｐｑｒが６０の倍数であることを示せ。

問題 ａ、ｂ、ｃが奇数であるとき、ａ^２+ｂ^２+ｃ^２は平方数でないことを示せ。

問題 ある細胞が確率ｐで1つ、確率1-ｐで２つの新しい細胞を次の世代に残し、自分自身は消滅するとき、 第0世代に細胞が1個とすると、第ｎ世代で細胞の合計数が1個、２個、３個である確率をそれぞれ求めよ。 （東京大学・1984年）

問題 正四角錘に内接する球を考えるとき、 （球の表面積）/（正四角錘の表面積）を最大化せよ。 （東京大学・1983年）

問題 正四面体Tと半径1の球面Sがあり、Tの全ての辺がSに接しているとき、 Tの外側にあってSの内側にある部分の体積を求めよ。 （東京大学・1982年）

問題 整数a、bについて ｘ^4+aｘ^２+b＝0の４つの解を考えるとき、 誤差が絶対値0.05であるような近似解として-3.45、-0.61、0.54、3.42がわかっている場合、 真の解を小数点第二位まで求めよ。 （東京大学・1982年）

問題 半径1の円に内接する正六角形の６つの頂点から、 ランダムに重複を許して３点を選び三角形を作るとき、 三角形の面積の期待値を求めよ。 （東京大学・1981年）

問題 正ｎ角錘の辺を切り開き、 底面を中心に展開して半径1の円に内接するとき、 この正ｎ角錘の体積の最大値を求めよ。 （東京大学・1981年）

問題 四面体ABCDと四面体EFGHが頂点DとHで接しており、 各辺は確率ｐで電流を流すとき、 頂点Aから頂点Fに電流が流れる確率を求めよ。 （東京大学・1999年）

問題 平面上に直線が間隔ｈで縦横に並んでいるとき、 この上に半径1の円を落とした場合、 円がちょうど２つの線と交わる確率を求めよ。 （東京大学・2001年）

問題 ３^ｘ＝ｘ^３を満たす正の有理数は、３のみであることを示せ。 （東京大学・1991年） 解答 下記のページに回答がある。 3^x = x^3 の解 - 雑食系猫的楽書帳 http://d.hatena.ne.jp/thilogane/20110302/p2

問題 連続する３つの自然数の積で、桁の中に1が連続して９９個現れるような数が存在することを示せ。 （東京大学・2013年）

問題 連続するｎ個の自然数の積は、ある自然数のｎ乗に等しくはなれないことを示せ。 （東京大学・2012年）

問題 1がｎ個並んだ数が27で割りきれることは、 ｎが27で割りきれることと同値であることを示せ。 （東京大学・2008年）

問題 自然数ｍについて、５ｍ^４ の下２桁として現れる数を全て求めよ。 ただし十の位の0の有無は無視してよい。 （東京大学・2007年）

問題 下４桁がゾロ目で５桁以上の平方数は、10000で割りきれることを示せ。 （東京大学・2004年）

問題 x^2 - 4x - 1 ＝0 の大きい方の解をαとするとき、 α^2003以下の最大の整数の1の位を求めよ。 （東京大学・2003年）

問題 どの桁も異なり、どの２つの桁の和も９にならないような自然数を小さいものから順に考えると、2000番目の数はいくつか。 （東京大学・2000年）

問題 三角形ABCの頂点がいずれも格子点で、 ABとACのいずれの両端を除く辺の上にも格子点が３個ずつあるとき、 三角形ABCの面積が８の倍数であることを示せ。 （東京大学・1992年）