問題 ３以上の整数ｎについて平面上にｎ個の点を取るとき， どの２点間の距離も無理数で，どの３点も三角形を作り， その面積が有理数であるようにできることを示せ。 （IMO・1987年）

問題 半径1の円に内接する正六角形の６つの頂点から、 ランダムに重複を許して３点を選び三角形を作るとき、 三角形の面積の期待値を求めよ。 （東京大学・1981年）

問題 三角形ABCの頂点がいずれも格子点で、 ABとACのいずれの両端を除く辺の上にも格子点が３個ずつあるとき、 三角形ABCの面積が８の倍数であることを示せ。 （東京大学・1992年）

問題 （１）半径１の円周上に３点ABCがあるとき，三角形ABCの内接円を最大化せよ。 （２）半径１の球面上に４点ABCDがあるとき，四面体ABCDの内接球を最大化せよ。 解答の方針

問題 １辺の長さが１の正三角形の周上または内部に５つの点があるとき， ある２点間の距離が 1/2 以下であることを示せ。

問題 正三角形ABCの内部の点Pについて、 AP＝3、BP＝4、CP＝5のとき、ABCの面積を求めよ。

問題 三角形ABCにおいて、AB＝4、BC＝3、CA＝2で AB上に二点PQをAP＝1、∠ABP＝∠BCQのように取るとき、 BQの長さを求めよ。 出典：JJMO

問題 一辺の長さが1の正三角形とその内部の任意の点Pについて、 頂点ABCからPに引いた直線と対辺の交点をそれぞれA', B', C'とするとき、 PA'+ PB'+PC' ≦1 を示せ。 出典：NMC

問題 三角形ABCにおいてBC＝5で、 BC上の点DについてBD＝2、∠BAD＝90°のとき、 ∠ACBが最大の値をとる場合のACの長さを求めよ。 出典：JJMO

問題 三角形の頂点をa1, a2, a3とし、新たに外部の点a4を使って三角形a2 a3 a4を作り、さらに外部の新しい点a5を使って三角形a3 a4 a5を作り、 という操作を繰り返してa8まで作って、６個の三角形が互い違いに一辺ずつ接しているような図形を作ると、 この図…

問題 ３つの頂点がいずれも格子点であるような正三角形は存在しないことを示せ。 （名古屋大）

問題 （１） 鋭角三角形 S の頂点ABCにおいて， 各頂点の対辺について対称点A ' B ' C ' をとって三角形 S ' とするとき， S ' の面積 ≦ 4×Sの面積 を示せ。 （２） Sが鈍角三角形であれば S ' の面積 ＜ 5×Sの面積 を示せ。 （出典：大学への数学）