【内接円のシンプル難問】円の内接三角形の内接円を最大化→球の内接四面体の内接球を最大化
問題
（１）半径１の円周上に３点ABCがあるとき，三角形ABCの内接円を最大化せよ。
（２）半径１の球面上に４点ABCDがあるとき，四面体ABCDの内接球を最大化せよ。
解答の方針
（１）ヘロンの公式からもわかるように，三角形の面積と，内接円の半径は比例する。
算数／直角三角形に内接する円と面積の問題 : なるほどの素
http://blog.livedoor.jp/veritedesu/archives/2044448.html
- 各辺の長さが５ｃｍ、４ｃｍ、３ｃｍの 直角三角形とそれに内接する円がある。 この直角三角形と円の間にできる水色の部分の面積を 求めなさい。
内接円の半径
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/s1sc203.htm
- 三角形の内接円の半径の大きさは，面積と関係
つまり，内接円の最大化は，三角形そのものの面積の最大化である。
次に，円に内接する三角形の最大化を考える。
まず底辺を固定して，頂点の位置を考えると，対称性から頂点の位置が決まる。
そのあとで底辺を動かして，三角形の面積を最大化すればよい。
等辺の長さが1であるような二等辺三角形の内接円の面積を最大にするには... - Yahoo!知恵袋
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13115537898
- 等辺の長さが1であるような二等辺三角形の内接円の面積を最大にするには、底辺の長さをいくらにすればよいか
半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化です。 【OKWave】
http://okwave.jp/qa/q6207281.html
- 半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化（解析幾何的な方法）
（２）前問の結果を使って，空間図形に拡張する。
内接円の面積と三角形の面積が比例していたように，
内接球の体積と四面体の体積は比例する。
なので，内接球の最大化は，四面体の体積の最大化に他ならない。
４面体に内接する球の半径。 : 学理教育セミナー リセ
http://lyceelycee.exblog.jp/12301748
- この４面体の中には、内接球の中心Ｐを頂点とする４つの４面体ＰＯＡＢ、ＰＯＢＣ、ＰＯＣＡ、ＰＡＢＣが存在しています。これら４つの４面体の高さは、すべて内接球の半径ｒです。
内接球の半径を求める一般的な公式 | 高校数学の美しい物語
http://mathtrain.jp/in_sphere
- 内接球の半径，表面積，体積のうち２つ分かれば残りの１つも分かる
そこで，球に内接する四面体の体積を最大化することを考える。
球面上の４点を，一つの円周上を通る３点と，残りの１点に分ければ，
円周上で面積を最大化する三角形は前問より既知。
残りの１点を，円周がつくる平面からの距離を最大化するようにとればよい。
この数学の問題の解法を教えてください。半径1の球に内接する四面体の... - Yahoo!知恵袋
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1258853022
- 半径1の球に内接する四面体の体積の最大値を求めよ
発展・関連
上述の考え方を広げてゆくと，一般のn次元球に内接・外接するn次元単体は何か，という問題になる。
これは正（正則）n次元単体であることが知られている。
初等幾何の楽しみ（その１２）
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1203_g12.htm
- 簡単な補助定理 ａ）ｎ次元球に内接および外接するすべての単体のなかで正則単体はそれぞれ最大および最小の体積をもっている
- ｎ次元以上のユークリッド空間において、同一の（ｎ−１）次元ユークリッド空間には属さない（ｎ＋１）個の点があるとき、これらの点は、ｎ次元単体（ｎ−単体、あるいはｎ次元超三角錐）を決定するという。ｎ次元単体のことを単に、「単体」、「超三角錐」などとも呼ぶ
kobe.pdf
http://www.cc.u-ryukyu.ac.jp/~hide/kobe.pdf
- n 次元立方体の中の大きな n 次元正則単体 徳重典英 1. 問題と主結果 正方形の中にどのくらい大きな正三角形が入るか。立方体の中にどのくらい大き な正四面体が入るか。
