整数問題
問題 f(x) = x^5 - ax - 1 が整数係数の正次数の2つの整式の積となるような 整数aを求め、 そのようなaについてf(x)を因数分解せよ。(1976年・東大文系)
問題 平面上の有限個の格子点を赤か白に塗り分けるとき， ｘ軸またはｙ軸に平行などんな直線をとっても， その直線上の白点と赤点の個数差を１以下にできるか？ （IMO・1986年） 問題の拡張 ・２次元の格子点をｎ色に塗り分ける場合はどうか？ ・３次元の格…
問題 非負整数の全体から非負整数の全体への写像ｆについて， ｆ(ｆ(ｘ))＝ｘ＋1987 を満たすものは存在しないことを示せ。 （1987年・IMO）
問題 自然数 a, b に対して ( a^2 + b^2 ) / ( ab + 1 ) ＝ k とおくとき， ｋが整数ならば，ｋは平方数であることを示せ。 （IMO・1988年）
問題 いかなるｎに対しても，連続するｎ個の自然数で， そのどれもが素数の自然数乗でないものが 存在することを示せ。 （IMO・1989） この問題から得られる結論 「ｎがどんなに大きくとも，連続するｎ個の自然数の区間に 一つも素数が現れないような区間が…
問題 ｎ個の自然数からなる集合Sについて， Sの部分集合で，その要素の和がｎで割り切れるものが 必ず存在することを示せ。
問題 nを自然数として，2のn乗の最上桁が１である確率は？
問題 2^n - 1 の全ての素因数が 2^( n / 2011 ) 以下となることは可能か？
問題 2^n - 2 が n の倍数であるとき，これを満たす合成数 n を見つけよ。 また，このような合成数 n は無数に存在するか？
問題 フィボナッチ数 1, 1, 2, 3, …のうち， 下２桁が９９の項は存在するか？ また，下８桁に９が並ぶことはありえるか？
問題 自然数 a, b について a^b をべき数と呼ぶとき， どんな自然数ｎに対しても， 全項がべき数であるｎ項の等差数列を作れることを示せ。 類題 【数列の部分列のシンプル難問】 和が0となる数列の真部分列も和を0にする - 短くて面白い数学の問題コレクシ…
問題 サイコロをｎ回振って出た目の和を ５で割った余りがｋである確率をp_n (k) とするとき， ｎ→∞ での p(k) を求めよ。 （京都大） 類題 【確率のシンプル難問】サイコロの目を足してゆく時，特定の値になる確率 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜…
問題 f(x)＝「xの各桁の和」であるとき， a + f(a) ＝ b + f(b) ＝ c + f(c) を満たす異なる自然数a, b, c は存在するか？ 類題 【シンプル整数難問】どの桁の和も９にならない2000番目の数 - 短くて面白い数学の問題コレクション 〜シンプルな難問〜 http:/…
問題 ２ケタ以上の，ゾロ目の平方数は存在するか？ 参考 頭の体操 | 夢の出来事 http://blog.hangame.co.jp/N394626361/article/39942899/ 二桁以上の平方数でゾロ目になるものは存在するか？ collo150 http://www.junko-k.com/collo/collo150.htm 平方数の…
問題 ２ケタ以上のゾロ目の素数は，１１以外に存在するか？ 参考 すべての桁が同じ数の数を素因数分解に規則性はありますか？ - Yahoo!知恵袋 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12114513727 すべての桁が同じ数の数を素因数分解し…
問題 ２^ｎ - 1 が３１で割りきれる条件は？
問題 1から100までの中からどのように５１個の数を選んでも、 一方が他方を割りきるような二数の組が存在することを示せ。
問題 ３/ｘ がちょうど小数３位までの有限小数となるような自然数ｘはいくつあるか？
問題 ９０を連続する自然数の和で表す方法は何通りあるか。 出典：マスターオブ整数
問題 ９が３０桁並ぶ数を５乗して、各桁の和をAとし、 Aの各桁の和をB、Bの各桁の和をCとするとき、 Cを求めよ。
問題 1998の倍数でゾロ目の最小のものは？
問題 ７の倍数と４の倍数の和の形で表せない数はあるか？
問題 １７の倍数と２３の倍数の和の形で表せない最大の整数を求めよ。
問題 ｗ≦ｘ≦ｙ≦ｚのとき、 ｗｘｙｚ＝ｗ+ｘ+ｙ+ｚ の自然数解を求めよ。
問題 １３^ｎ - ８^ｎ - ５^ｎ は４０の倍数であることを示せ。
問題 連続するｎ個の自然数の積は、ｎ！の倍数であることを示せ。
問題 ｐ^２+ｑ^２＝ｒ^２ を満たす自然数の組について、ｐｑｒが６０の倍数であることを示せ。
問題 ａ、ｂ、ｃが奇数であるとき、ａ^２+ｂ^２+ｃ^２は平方数でないことを示せ。
問題 整数a、bについて ｘ^4+aｘ^２+b＝0の４つの解を考えるとき、 誤差が絶対値0.05であるような近似解として-3.45、-0.61、0.54、3.42がわかっている場合、 真の解を小数点第二位まで求めよ。 （東京大学・1982年）
問題 連続する３つの自然数の積で、桁の中に1が連続して９９個現れるような数が存在することを示せ。 （東京大学・2013年）
