問題 n個のコインを円周上に並べ，連続するk個を裏返す操作を続けるとき， 「初期状態によらず全コインが裏返った状態に到達できる」ための n と k に関する必要十分条件は？（京大・理学部特色入試・2016年第三問） 解説

問題 平面上の有限個の格子点を赤か白に塗り分けるとき， ｘ軸またはｙ軸に平行などんな直線をとっても， その直線上の白点と赤点の個数差を１以下にできるか？ （IMO・1986年） 問題の拡張 ・２次元の格子点をｎ色に塗り分ける場合はどうか？ ・３次元の格…

問題 ３以上の整数ｎについて平面上にｎ個の点を取るとき， どの２点間の距離も無理数で，どの３点も三角形を作り， その面積が有理数であるようにできることを示せ。 （IMO・1987年）

問題 いかなるｎに対しても，連続するｎ個の自然数で， そのどれもが素数の自然数乗でないものが 存在することを示せ。 （IMO・1989） この問題から得られる結論 「ｎがどんなに大きくとも，連続するｎ個の自然数の区間に 一つも素数が現れないような区間が…

問題 ｎ×ｎの将棋盤上で，飛車を１の１（左下）からｎのｎ（右上）まで 進める動かし方は9^n 通り以下であることを示せ。 ただし，飛車は右または上に一度に何マスでも進むことができ， 方向を変えるとき以外も立ち止まれるものとする。

問題 1から100までの中からどのように５１個の数を選んでも、 一方が他方を割りきるような二数の組が存在することを示せ。

問題 半径1の円に内接する正六角形の６つの頂点から、 ランダムに重複を許して３点を選び三角形を作るとき、 三角形の面積の期待値を求めよ。 （東京大学・1981年）

問題 ７人の人がいて， どの２人も互いに知り合いであるか，知り合いではないかのどちらかであるとき， どの人もちょうど３人と知り合いであることがありうるか？

問題 ２０人がいて，各人が自分を除く１０人に手紙を出すとき， 互いに手紙を出し合う２人組が必ず存在することを示せ。

問題 円周上に異なる１０個の点があり，どの２つも互いに直線で結ばれており， これらの直線は互いに平行でなく，円周を除く円の内部では３本以上の直線が一点で交わらない場合， 円の内部に直線同士の交点はいくつあるか。

問題 平面上の１０本の直線が，互いに平行でなく，３本以上の直線が１点で交わらないとき， これらの直線によって平面はいくつの区画に分割されるか？

問題 平面状に１０個の点があり，どの２点間の距離も１以上であるとき， ちょうど１離れた２点は３０対以下であることを示せ。 出典：北京市数学コンテスト

問題 平面の格子上で５つの点を取ると， この中からある２点を選べば，その中点が格子点となることを示せ。

問題 １辺の長さが１の正三角形の周上または内部に５つの点があるとき， ある２点間の距離が 1/2 以下であることを示せ。

問題 一歩で一段または二段を昇れる人が10段の階段を登るとき、何通りの登りかたがあるか。