2014-12-01から1ヶ月間の記事一覧
問題 （１）正八面体Vの面と平行な面でVに切り口を作るとき、切り口の周の長さが一定であることを示せ。 （２）平面に一辺の長さが１の正方形の形をした穴が空いているとき、Vはこの穴をくぐることが可能か。 （東京大学・1990年）
問題 自然数ｎに対し，３ｎ−１は平方数でないことを示せ。
問題 a^2 + b^2 = c^2 の整数解において，aとbのいずれか一方は偶数であることを示せ。
問題 2 n^2 + 1, 3 n^2 + 1, 6 n^2 + 1 が同時に平方数にはなれないことを示せ。 出典：JMO
問題 ５つの連続する自然数の積は平方数となれないことを示せ。 参考
問題 平方数と立方数にはさまれた自然数は，２６のみであることを示せ。 参考
問題 （１）半径１の円周上に３点ABCがあるとき，三角形ABCの内接円を最大化せよ。 （２）半径１の球面上に４点ABCDがあるとき，四面体ABCDの内接球を最大化せよ。 解答の方針
問題 ３の正の倍数と５の正の倍数の和の形で表せない自然数をすべて求めよ。 （大阪大学，2000年）
問題 ７人の人がいて， どの２人も互いに知り合いであるか，知り合いではないかのどちらかであるとき， どの人もちょうど３人と知り合いであることがありうるか？
問題 ２０人がいて，各人が自分を除く１０人に手紙を出すとき， 互いに手紙を出し合う２人組が必ず存在することを示せ。
問題 円周上に異なる１０個の点があり，どの２つも互いに直線で結ばれており， これらの直線は互いに平行でなく，円周を除く円の内部では３本以上の直線が一点で交わらない場合， 円の内部に直線同士の交点はいくつあるか。
問題 平面上の１０本の直線が，互いに平行でなく，３本以上の直線が１点で交わらないとき， これらの直線によって平面はいくつの区画に分割されるか？
問題 平面状に１０個の点があり，どの２点間の距離も１以上であるとき， ちょうど１離れた２点は３０対以下であることを示せ。 出典：北京市数学コンテスト
問題 平面の格子上で５つの点を取ると， この中からある２点を選べば，その中点が格子点となることを示せ。
問題 １辺の長さが１の正三角形の周上または内部に５つの点があるとき， ある２点間の距離が 1/2 以下であることを示せ。
問題 チェスのナイトの駒は，正方形の盤上で， 全てのマスを１回ずつ通って元のマスに戻ってこれるか？ （１）５×５マスの場合。 （２）８×８マスの場合。 補足資料 ５×５マスの場合。 「ジュニア数学オリンピック2009-2013」129ページ、市松模様の塗り分け…
問題 １以上１００以下の奇数をすべて掛け合わせた数の下３桁は？ 出典：JJMO
問題 ８１枚のコインのうち一枚だけ他より重いとき、 てんびんを４回以下だけ使って、その一枚を取り出すには？ 出典：JMO
問題 1から100までの番号がふられた箱があり、それぞれ番号と同じ数の石が入っていて、 一回の操作で任意の複数の箱からそれぞれ同じ個数だけ石を取り出せる場合、 何回の操作で全ての箱を空にできるか？ 出典：JMO
問題 重さの異なる２種類のコインが４枚ずつあるとき、 てんびんを２回しか使わずに、重さが異なるコインを1枚ずつ取り出すには？ 出典：JMO
問題 ６×６のマス目の一つの対角線上にある角のマスを２つとも切り落として３４マスのマス目を作るとき、 このマス目を１マス×２マスのタイルで敷き詰めることができないことを示せ。 出典：JMO
問題 テトリスのTテトリミノでは、１０×１０のマス目を敷き詰められないことを示せ。 ※Tテトリミノ：「ト」または「Ｔ」の形をした４つのブロック
問題 1から2010までの整数で、正の約数を偶数個もつものはいくつあるか？ 出典：JJMO
問題 2^2004を、1から2^2004までの数で割ってそれぞれ商と余りを求めるとき、商として現れる整数は何通りか？ 出典：JJMO
問題 √n に最も近い整数を a_n と表すとき、 1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_1980 を求めよ。
問題 正三角形ABCの内部の点Pについて、 AP＝3、BP＝4、CP＝5のとき、ABCの面積を求めよ。
問題 一辺の長さが1の正方形ABCDにおいて、点Pと点Qが辺AB、辺AD上を動き、 AをPQについて折り返した点をXとするとき、 Xが動く範囲の面積を求めよ。
問題 三角形ABCにおいて、AB＝4、BC＝3、CA＝2で AB上に二点PQをAP＝1、∠ABP＝∠BCQのように取るとき、 BQの長さを求めよ。 出典：JJMO
問題 一辺の長さが1の正三角形とその内部の任意の点Pについて、 頂点ABCからPに引いた直線と対辺の交点をそれぞれA', B', C'とするとき、 PA'+ PB'+PC' ≦1 を示せ。 出典：NMC
問題 三角形ABCにおいてBC＝5で、 BC上の点DについてBD＝2、∠BAD＝90°のとき、 ∠ACBが最大の値をとる場合のACの長さを求めよ。 出典：JJMO
