【無理数の性質のシンプル難問】 ルート２には，同じ数字の連続した並びがどの程度まで許可されるか？

問題

√２の値を１億桁調べたとき，
同じ数字が６千万桁続いて並ぶことはありえないことを示せ。

（出典：大学への数学）