問題 連続するｎ個の自然数の積は、ある自然数のｎ乗に等しくはなれないことを示せ。 （東京大学・2012年）

問題 1がｎ個並んだ数が27で割りきれることは、 ｎが27で割りきれることと同値であることを示せ。 （東京大学・2008年）

問題 自然数ｍについて、５ｍ^４ の下２桁として現れる数を全て求めよ。 ただし十の位の0の有無は無視してよい。 （東京大学・2007年）

問題 下４桁がゾロ目で５桁以上の平方数は、10000で割りきれることを示せ。 （東京大学・2004年）

問題 x^2 - 4x - 1 ＝0 の大きい方の解をαとするとき、 α^2003以下の最大の整数の1の位を求めよ。 （東京大学・2003年）

問題 どの桁も異なり、どの２つの桁の和も９にならないような自然数を小さいものから順に考えると、2000番目の数はいくつか。 （東京大学・2000年）

問題 三角形ABCの頂点がいずれも格子点で、 ABとACのいずれの両端を除く辺の上にも格子点が３個ずつあるとき、 三角形ABCの面積が８の倍数であることを示せ。 （東京大学・1992年）

問題 自然数ｎに対し，３ｎ−１は平方数でないことを示せ。

問題 a^2 + b^2 = c^2 の整数解において，aとbのいずれか一方は偶数であることを示せ。

問題 2 n^2 + 1, 3 n^2 + 1, 6 n^2 + 1 が同時に平方数にはなれないことを示せ。 出典：JMO

問題 ５つの連続する自然数の積は平方数となれないことを示せ。 参考

問題 平方数と立方数にはさまれた自然数は，２６のみであることを示せ。 参考

問題 ３の正の倍数と５の正の倍数の和の形で表せない自然数をすべて求めよ。 （大阪大学，2000年）

問題 １以上１００以下の奇数をすべて掛け合わせた数の下３桁は？ 出典：JJMO

問題 1から2010までの整数で、正の約数を偶数個もつものはいくつあるか？ 出典：JJMO

問題 2^2004を、1から2^2004までの数で割ってそれぞれ商と余りを求めるとき、商として現れる整数は何通りか？ 出典：JJMO

問題 √n に最も近い整数を a_n と表すとき、 1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_1980 を求めよ。

問題 奇数の完全数は存在するか？ （未解決問題）

問題 2以上の自然数 nについて， n と n^2 + 2 がともに素数となるのは，n = 3 に限ることを示せ。 （2006年・京大）

問題 自然数 n について， n, n + 2, n + 4 が全て素数になるのは n = 3 に限ることを示せ。 （早稲田大，2004年）

問題 全桁に1が並ぶ整数として、 1、11、111、…のように桁数が1桁から2003桁までのものを考えるとき、 それらのうち少なくとも1つは2003の倍数であることを示せ。

問題 21、221、2221、…の中には平方数がないことを示せ。 出典：「ジュニア数学オリンピック2009-2013」（亀書房）５ページ。 参考 この問題解ける？ http://uni.open2ch.net/test/read.cgi/math/1417513732/ 21,221,2221,22221……が平方数にならないことを示…

問題 １，２，３，４，５のいずれかの数が合計１２０個あるとき， この１２０個の数の中からいくつか選んで， 和を１２０にできることを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 n×n のマス目に 1 から n^2 までの数を入れるとき， 上下左右に隣り合う２マスの差が n となる箇所が必ず存在することを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 １９個の相異なる２桁の数があるとき， その中から選んだある４数 a, b, c, d で a + b = c + d が必ず成り立つことを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 どの項も絶対値が10以下の整数で， 全項の和が０であるような２０項の数列があるとき， 隣り合う１９項以下の項を選んで和を０にできることを示せ。 （出典：大学への数学）

問題 f(n) = 「 2^n の各桁の和」とするとき， f(n) ≧ f(n+1) となる n は無数に存在することを示せ。 （出典：大学への数学）