おすすめ （問題文が特に短い）
問題 ｐ^２+ｑ^２＝ｒ^２ を満たす自然数の組について、ｐｑｒが６０の倍数であることを示せ。
問題 ａ、ｂ、ｃが奇数であるとき、ａ^２+ｂ^２+ｃ^２は平方数でないことを示せ。
問題 ある細胞が確率ｐで1つ、確率1-ｐで２つの新しい細胞を次の世代に残し、自分自身は消滅するとき、 第0世代に細胞が1個とすると、第ｎ世代で細胞の合計数が1個、２個、３個である確率をそれぞれ求めよ。 （東京大学・1984年）
問題 正四角錘に内接する球を考えるとき、 （球の表面積）/（正四角錘の表面積）を最大化せよ。 （東京大学・1983年）
問題 半径1の円に内接する正六角形の６つの頂点から、 ランダムに重複を許して３点を選び三角形を作るとき、 三角形の面積の期待値を求めよ。 （東京大学・1981年）
問題 正ｎ角錘の辺を切り開き、 底面を中心に展開して半径1の円に内接するとき、 この正ｎ角錘の体積の最大値を求めよ。 （東京大学・1981年）
問題 四面体ABCDと四面体EFGHが頂点DとHで接しており、 各辺は確率ｐで電流を流すとき、 頂点Aから頂点Fに電流が流れる確率を求めよ。 （東京大学・1999年）
問題 平面上に直線が間隔ｈで縦横に並んでいるとき、 この上に半径1の円を落とした場合、 円がちょうど２つの線と交わる確率を求めよ。 （東京大学・2001年）
問題 ３^ｘ＝ｘ^３を満たす正の有理数は、３のみであることを示せ。 （東京大学・1991年） 解答 下記のページに回答がある。 3^x = x^3 の解 - 雑食系猫的楽書帳 http://d.hatena.ne.jp/thilogane/20110302/p2
問題 連続する３つの自然数の積で、桁の中に1が連続して９９個現れるような数が存在することを示せ。 （東京大学・2013年）
問題 連続するｎ個の自然数の積は、ある自然数のｎ乗に等しくはなれないことを示せ。 （東京大学・2012年）
問題 1がｎ個並んだ数が27で割りきれることは、 ｎが27で割りきれることと同値であることを示せ。 （東京大学・2008年）
問題 自然数ｍについて、５ｍ^４ の下２桁として現れる数を全て求めよ。 ただし十の位の0の有無は無視してよい。 （東京大学・2007年）
問題 下４桁がゾロ目で５桁以上の平方数は、10000で割りきれることを示せ。 （東京大学・2004年）
問題 x^2 - 4x - 1 ＝0 の大きい方の解をαとするとき、 α^2003以下の最大の整数の1の位を求めよ。 （東京大学・2003年）
問題 どの桁も異なり、どの２つの桁の和も９にならないような自然数を小さいものから順に考えると、2000番目の数はいくつか。 （東京大学・2000年）
問題 （１）正八面体Vの面と平行な面でVに切り口を作るとき、切り口の周の長さが一定であることを示せ。 （２）平面に一辺の長さが１の正方形の形をした穴が空いているとき、Vはこの穴をくぐることが可能か。 （東京大学・1990年）
問題 自然数ｎに対し，３ｎ−１は平方数でないことを示せ。
問題 a^2 + b^2 = c^2 の整数解において，aとbのいずれか一方は偶数であることを示せ。
問題 2 n^2 + 1, 3 n^2 + 1, 6 n^2 + 1 が同時に平方数にはなれないことを示せ。 出典：JMO
問題 ５つの連続する自然数の積は平方数となれないことを示せ。 参考
問題 平方数と立方数にはさまれた自然数は，２６のみであることを示せ。 参考
問題 （１）半径１の円周上に３点ABCがあるとき，三角形ABCの内接円を最大化せよ。 （２）半径１の球面上に４点ABCDがあるとき，四面体ABCDの内接球を最大化せよ。 解答の方針
問題 ３の正の倍数と５の正の倍数の和の形で表せない自然数をすべて求めよ。 （大阪大学，2000年）
問題 ７人の人がいて， どの２人も互いに知り合いであるか，知り合いではないかのどちらかであるとき， どの人もちょうど３人と知り合いであることがありうるか？
問題 ２０人がいて，各人が自分を除く１０人に手紙を出すとき， 互いに手紙を出し合う２人組が必ず存在することを示せ。
問題 平面状に１０個の点があり，どの２点間の距離も１以上であるとき， ちょうど１離れた２点は３０対以下であることを示せ。 出典：北京市数学コンテスト
問題 平面の格子上で５つの点を取ると， この中からある２点を選べば，その中点が格子点となることを示せ。
問題 チェスのナイトの駒は，正方形の盤上で， 全てのマスを１回ずつ通って元のマスに戻ってこれるか？ （１）５×５マスの場合。 （２）８×８マスの場合。 補足資料 ５×５マスの場合。 「ジュニア数学オリンピック2009-2013」129ページ、市松模様の塗り分け…
問題 １以上１００以下の奇数をすべて掛け合わせた数の下３桁は？ 出典：JJMO
