【平方数のシンプル難問】( a^2 + b^2 ) / ( ab + 1 ) が整数ならば平方数である

問題

自然数 a, b に対して
( a^2 + b^2 ) / ( ab + 1 ) ＝ k とおくとき，
ｋが整数ならば，ｋは平方数であることを示せ。

（IMO・1988年）

【素数のシンプル難問】連続するｎ個の自然数で，どれも素数べきでないものが必ず存在

問題

いかなるｎに対しても，連続するｎ個の自然数で，
そのどれもが素数の自然数乗でないものが
存在することを示せ。

（IMO・1989）

この問題から得られる結論

「ｎがどんなに大きくとも，連続するｎ個の自然数の区間に
一つも素数が現れないような区間がある。」

【凸四角形のシンプル難問】平面上の５点から必ず凸４角形が作れる

問題

平面上に，
どの３点も同一直線上にないように５点を配置するとき，
そのうちある４点を頂点とする凸四角形が
必ず存在することを示せ。

【部分集合のシンプル難問】ｎ個の自然数の部分集合で，和がｎで割り切れるものが存在

問題

ｎ個の自然数からなる集合Sについて，
Sの部分集合で，その要素の和がｎで割り切れるものが
必ず存在することを示せ。

【シンプル整数問題】2のn乗の最上桁が１である確率

問題

nを自然数として，2のn乗の最上桁が１である確率は？